福建师范大学-《近世代数》

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《近世代数》期末考试A卷

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一、判断题(共20分，5个小题，每小题4分）

1.   剩余类环中没有非零的零因子。            （ ）

2.   群中指数为2的子群一定是正规子群           （   ）

3.   已知是有限群的子群， 和分别表示和的元素个数，则  不一定能整除               （    ）

4.   数域上的全矩阵环不是单环。                 （    ）

5.   环中理想的乘积还是理想。                   （   ）

二、计算证明题（共80分，4个小题，每小题20分）

1. 设是整数集，规定，证明：关于所定义的

  运算构成交换群

2.  在四元对称群中,设.

(1)    写出的轮换分解式(即将写成一些互不相交的轮换的乘积);

(2) 设集合, 试写出中全部元素(用轮换分解式表示);

3.  有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问:

这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)

4. 求出剩余类环的所有理想和所有极大理想。